Fizyka, muzyka, życie…

Przedmiotem zainteresowania fizyki jest „fizys”, z greckiego φύσις – już w Homerowej „Odysei” rozumiana jako zespół mechanizmów leżących u podstaw wzrostu i kwitnienia roślin  – natura: obiektywna i niezależna od człowieka. Muzyka zaś jest domeną muz: leży w tym obszarze myśli ludzkiej, który od Cycerońskiej cultura animi (z łac. uprawa umysłu) nazywamy kulturą. Taki jest uświęcony tradycją podział odzwierciedlony np. w podziale środków na naukę i kulturę. Jednak tradycyjne podziały bywają zwodnicze. Uprawiamy wszak nasze umysły poprzez naukę, aby poznać mechanizmy rządzące zarówno przyrodą, jak i zachowaniami ludzkimi, nie wyłączając twórczości artystycznej. Z drugiej strony dotarcie najbardziej nawet wysublimowanych myśli artysty do odbiorcy wymaga nieraz bardzo pomysłowego, ba genialnego – por. łac. ingeniosus, skąd inżynier – wykorzystania możliwości tkwiących w zjawiskach naturalnych. Bez wątpienia fizyka należy więc także do kultury, a jej największy w nią wkład polega na wypracowaniu metody, której siła przekonywania okazała się decydująca zarówno dla europejskiego przyrodoznawstwa, jak i dla europejskiej muzyki.

Rys. 1. Monochord Pitagorasa

Metoda

O ile mi wiadomo, pierwszym udokumentowanym w kulturze europejskiej przypadkiem realizacji metody będącej podstawą współczesnej fizyki, tj. łańcucha działań od obserwacji zjawiska, poprzez eksperyment laboratoryjny do sformułowania reguły – czyli prawa przyrody – przy użyciu pojęć matematycznych, było odkrycie przez Pitagorasa muzycznych konsonansów i dysonansów. Według słynnej legendy Pitagoras dokonał swej obserwacji w kuźni, w której czterej kowale uderzali obrabiany kawałek metalu młotami różnej wielkości. Każdy młot wydawał inny dźwięk, a gdy przypadkiem dwa młoty spadały na metal jednocześnie, współbrzmienie było raz zgodne, łagodne, przyjemne,… innym zaś razem szorstkie i drażniące. Pitagoras długo przemyśliwał nad tym zjawiskiem, aż wpadł na pomysł zbudowania przyrządu, który je odtwarzał z jeszcze większą wyrazistością, a w dodatku pozwalał precyzyjnie określić warunki jego występowania. Przyrząd zwany monochordem Pitagorasa to pojedyncza struna naciągnięta na drewnianym pudle (Rys. 1). Ruchomy podstawek pozwala dzielić strunę w dowolnym jej miejscu. Pitagoras stwierdził, że wyjątkowo zgodne współbrzmienia dwóch odcinków struny uzyskujemy, gdy jeden odcinek daje się w prosty sposób zmierzyć drugim. Np. kiedy w jednym odcinku drugi mieści się dokładnie dwa razy, słyszymy interwał nazwany później oktawą. Kiedy takie dwa odcinki struny potrącimy po kolei, usłyszymy początek refrenu piosenki, „Cała jesteś w skowronkach”, kolędy „Bóg się rodzi”, lub instrumentalny wstęp do „Glorii” Vivaldiego, albo – w odwrotnej kolejności, tj. krótsza struna najpierw – początek Bachowskiej kantaty „Herz und Mund und Tat und Leben”, lub 29-tej symfonii Mozarta… Na raz takie dwie struny brzmią wyjątkowo zgodnie. Do tego stopnia, że na klawiaturze dźwięki odległe o ten interwał mają tę samą nazwę: do, re, mi, fa, sol, albo c, d, e, f, g…  Inne charakterystyczne miejsce podziału struny jest takie, że na dwa odcinki jednej części przypadają trzy odcinki drugiej (Rys. 2). Po kolei takie dwie struny zdają się śpiewać, „Hu, hu, ha,   hu, hu, ha, nasza zima zła…”, kościelną pieśń „Matko najświętsza, do serca Twego…”, początek 3 części „Jesieni” Vivaldiego, a w odwrotnej kolejności „My ze spalonych wsi…”, albo pierwsze takty koncertu f-moll Chopina. Taki interwał nazwano kwintą. Legenda twierdzi, że Pitagoras zauważył jeszcze zgodne współbrzmienie występujące, gdy na trzy długości jednej części struny przypadają cztery długości drugiej części. Struny grają wtedy „Płonie ognisko w lesie”, „Ojciec Wergiliusz…”, przedostatnią część „Patetycznej” Czajkowskiego, „Międzynarodówkę”,  albo początek koncertu e-moll Chopina, czyli interwał kwarty. Fakt, że długości pewnych odcinków da się zmierzyć za pomocą innych odcinków, dał początek pojęciu liczby, a obserwacja, że liczby tak bezpośrednio objawiają się w zjawisku wydawania dźwięku przez strunę, doprowadziła pitagorejczyków do sformułowania ich znanego hasła: „wszystko jest liczbą!”. Zresztą doznali też prawdziwego wstrząsu, gdy się przekonali, że niektórych odcinków nie da się wymierzyć, licząc, ile długości jednego mieści się w jakiejś odpowiedniej liczbie długości drugiego. Oznaczało to bowiem – w ich pojęciu terminu „liczba” – że jednak nie wszystko jest liczbą. Nie da się na przykład wymierzyć przekątnej kwadratu za pomocą boku tego kwadratu. Układanie obok siebie nawet bardzo długich  szeregów  boku i przekątnej tego samego kwadratu nigdy nie doprowadzi do zejścia się zarazem początku i końca. Dziś nas to już tak bardzo nie porusza. Przyzwyczailiśmy się i zaliczyliśmy w poczet liczb wielkości, które nie dają się przedstawić w postaci ułamków i nazwaliśmy je liczbami niewymiernymi. Słusznie, skoro przedstawiają stosunki długości odcinków, których nie można wymierzyć przez bezpośrednie przykładanie. Pitagorejczycy postąpili inaczej. Doszli do wniosku, że wiadomość jakoby nie wszystko było liczbą (wymierną), może wywołać jakąś katastrofę, i zaprzysięgli utrzymać to w tajemnicy. Ktoś jednak sekret wydał i wkrótce zginął w niewyjaśnionych okolicznościach. W grę wchodziła zemsta bogów, albo rytualny mord. Stało się to początkiem rozpadu stowarzyszenia pitagorejczyków.

Rys. 2. W dwóch długościach struny A mieszczą się trzy długości struny e. Gdy struny te są jednakowe i naciągnięte z jednakową siłą, interwał A – e odpowiada kwincie

Interwał, jaki wydają dwie jednakowe struny, których stosunek długości wynosi , czyli kiedy jedna struna ma długość przekątnej, a druga równa jest długości boku tego samego kwadratu, nazywa się trytonem. Nie znam melodii, która by się tak zaczynała. Tak brzmi sygnał amerykańskich samochodów policyjnych. Proponuję spróbować zaśpiewać ten interwał w dwie osoby: jedna osoba dźwięk dolny, a druga górny. Stwierdzimy wtedy, że jakaś siła spycha nas z utrzymania się na dźwięku, skłania do przejścia na dźwięk sąsiedni. Średniowieczni teoretycy nazwali tryton „diabłem w muzyce”.

Wniosek z eksperymentu Pitagorasa brzmi: „przyroda lubi stosunki małych liczb naturalnych”. Zachwyceni wspaniałą trafnością tego wniosku w dziedzinie muzycznych interwałów pitagorejczycy, a za nimi filozofowie greccy, zapomnieli o drodze, która doń doprowadziła i systematycznie lekceważyli w swych poglądach rolę doświadczenia, przyznając pierwszeństwo działaniom samego rozumu. Zahamowało to rozwój przyrodoznawstwa na wiele stuleci. Jeszcze Jochannes Kepler w XVII w. odkrywszy, że planety Układu Słonecznego poruszają się po tak niedoskonałych torach jak elipsy, poszukiwał związków ich ruchu z liczbami naturalnymi… i znalazł: stosunki prędkości planet w położeniach najbliższych i najdalszych od Słońca wyrażają się ułamkami niewielkich liczb naturalnych. Planety wykonują więc jakiś kosmiczny utwór, w którym występują także muzyczne konsonanse. Niektórzy drwią z tego odkrycia Keplera, jakoby było ono zupełnie niedorzeczne. Czy słusznie? W swych „Harmoniach świata”, Kepler pisze: „Ruchy niebieskie nie są niczym innym, jak ciągłą pieśnią na kilka głosów, którą postrzegamy intelektem, nie uchem; muzyką, która poprzez dysonansowe napięcia, poprzez synkopy i perfidie [oryg. cadenzas] podąża do pewnych zamierzonych sześciogłosowych kadencji i wyznacza w ten sposób punkty orientacyjne w niezmierzonym przepływie czasu.” (Rys. 3).  Czy rozumiejąc dziś, że ruchy planet wynikają z ich odwrotnie proporcjonalnego do kwadratu odległości przyciągania przez Słońce, umiemy wyjaśnić, dlaczego stosunki ich prędkości w afeliach i peryheliach są akurat ułamkami małych liczb naturalnych? Raczej odsuwamy od siebie to pytanie, zadowalając się opartym na prawach Newtona przeświadczeniu, że gdyby masy planet były inne, niż są w rzeczywistości, to stosunki ich prędkości też byłyby inne.

Rys. 3. Strona tytułowa dzieła Johannesa Keplera „Harmonia świata” (1619). W księdze V: „O najbardziej absolutnej harmonii ruchów niebieskich i o pochodzeniu od tejże odstępstw od kolistości, półśrednic i periodycznych czasów.”

Praktyka

Siła przekonywania prawidłowo wywiedzionej z doświadczenia i zmatematyzowanej zasady  ma sama w sobie coś z prawa natury. Taka zasada działa na nas nawet wtedy, gdy lekceważymy drogę, na której powstała. Pitagorejska zasada „lubienia przez naturę małych liczb naturalnych” musiała silnie działać na teoretyków muzyki i teatru greckiego, skoro pierwotne harfy towarzyszące przedstawieniom miały cztery struny, np. C, f, g, c  tak dobrane, aby  – jak młoty z legendarnej kuźni – móc wydawać interwały oktawy, kwinty i kwarty. Warto tu przy okazji wspomnieć, że sceptyczni wobec doświadczeń starożytni Grecy zdołali jednak niezwykle dokładnie opisać ruchy planet na sklepieniu niebieskim, co zapewniło ich żeglarzom niezawodny system nawigacji i umożliwiło rozprzestrzenienie się ich kultury w basenie Morza Śródziemnego. Znów „przyleganie” teorii matematycznej do obserwacji doświadczalnych okazało swą moc. Ruchomych ciał niebieskich znali starożytni Grecy 7. Niektórzy twierdzą, że wyznaczyło to liczbę różnych dźwięków w muzycznych skalach, których w późniejszym czasie zaczęto używać dla wzbogacenia czterostrunowej harfy pitagorejskiej.

Rzymianie skoncentrowali się na organizacji państwa. Nauk zniewolonych Greków  słuchały głównie dzieci przymuszane do tego przez swych zajętych sprawami praktycznymi rodziców. Ostatnim ponoć Rzymianinem rozumiejącym starożytną Grekę, był Boecjusz (Anicius Manlius Severinus Boëthius ok. 480 – 524). Przetłumaczył on wiele dzieł filozofów greckich na łacinę i w ten sposób przeniósł ich dorobek w czasy średniowiecza. Od niego pochodzi podział przedmiotów nauczania na przygotowawcze – „trywialne”: gramatyka, retoryka i logika, oraz  zaawansowane – „kwadrywialne”: arytmetyka, geometria, astronomia i muzyka. Muzyczne skale starogreckie z pewnymi przekształceniami i błędami tłumacza stały się dzięki Boecjuszowi skalami systemu modalnego, zwanego też systemem skal kościelnych. Pozostały ich nazwy pochodzące od plemion Greckich, a nieco zmienił się ich „ethos”, tj. ogólny nastrój, sprawiający, że jedne uważano za odpowiednie do nabożeństw radosnych, inne do żałobnych, jeszcze inne do pochwalnych… I chociaż ludzie średniowiecza jeszcze bardziej lekceważyli doświadczenie, to przecież postać Boecjusza często przedstawiali z jak najbardziej doświadczalnym przyrządem Pitagorasa (rys. 4).

Rys. 4. Boecjusz z monochordem.

Kiedy do praktyki śpiewów kościelnych weszło jednoczesne wykonywanie różnych dźwięków (tzw. organum, czyli śpiew „rozczłonkowany”), używanie innych niż odkrytych przez Pitagorasa konsonansów stało się treścią zakazu religijnego. W dokumencie Docta Sanctorum Patrum, z 1324 r., w którym też przytacza dosłownie myśli Boecjusza, papież Jan XXII ogłasza: „Przez to jednak nie zamierzamy zabraniać, aby czasem, szczególnie w dni świąteczne czy uroczyste, we mszach i nabożeństwach nie dodawać nad prostym śpiewem kościelnym pewnych konsonansów, które uwydatniają melodię, a mianowicie oktawy, kwinty, kwarty i innych tego rodzaju […]”. Nie jest tylko całkiem jasne, jakie „inne tego rodzaju” interwały ma Sternik Łodzi Piotrowej na myśli.

Doświadczenie

Może budzić zdziwienie, że cała praktyka muzyczna średniowiecza i wczesnego renesansu obywała się bez podstawowej wiedzy na temat fizycznego mechanizmu powstawania dźwięków. Znano tylko – i eksploatowano – związek konsonansów z prostotą małych liczb naturalnych, choć tak naprawdę nie rozumiano, czego te liczby dotyczą. Dopiero Galileo Galilei – (Galileusz, syn Vincenza), autora „Dialogu muzyki dawnej z nowoczesną” zauważył, że niektóre ciała wytrącone ze spoczynku i pozostawione same sobie, wykonują wahadłowy ruch okresowy z właściwą sobie częstotliwością, tj. liczbą wahnięć na jednostkę czasu. Zauważył to, obserwując kołysanie się zwisających na długich łańcuchach świeczników wprawianych w ruch podmuchami wiatru z okien bazyliki. Używając jako jednostki czasu okresu swojego własnego pulsu, stwierdził, że okres wahania danego świecznika nie zależy od tego, jak bardzo jest rozkołysany. Każdy świecznik okazał się mieć swoją częstotliwość, do dzisiaj nazywaną częstotliwością własną. Podobnie częstotliwość drgań widełek strojowych nie zależy od tego, jak mocno je uderzymy, ani częstotliwość struny od tego, jak silnie zostanie szarpnięta. A to właśnie częstotliwość decyduje o wysokości dźwięku. Dzięki doświadczeniom Marina Mersenne’a (1588–1648) wiemy, że częstotliwość drgań struny jest odwrotnie proporcjonalna do jej długości i do pierwiastka jej masy, oraz wprost proporcjonalna do pierwiastka siły, z jaką jest naciągnięta. Możemy teraz ocenić, jak mylące było przywiązanie ludzi średniowiecza do samych tylko liczb (Rys. 5).

Rys. 5. W średniowieczu nie zdawano sobie sprawy, że obciążanie identycznych strun ciężarami pozostającymi w stosunkach liczb wymaganych dla długości jednakowo naciągniętych strun nie odtworzy interwałów pitagorejskich.

Ruch struny jest zazwyczaj znacznie bardziej skomplikowany niż ruch rozkołysanego świecznika i podobny doń – choć znacznie szybszy – ruch widełek strojowych. Potrącona struna drga tak, jakby się składała z całego szeregu widełek strojowych, dobranych tak, że ich częstotliwości są całkowitymi wielokrotnościami pewnej najniżej częstotliwości podstawowej. Dzięki temu ruch struny jest okresowy, ale zmiany ciśnienia wokół niej nie odpowiadają już łagodnie falującej krzywej zwanej sinusoidą.  lecz przyjmują czasem bardzo dziwne kształty, będące wynikiem nałożenia się szeregu sinusoid. Tylko okres drgań pozostaje ten sam, gdyż dyktuje go najwolniejsza sinusoida oraz fakt, że okresy pozostałych są dokładnie krótsze, kolejno 2, 3, 4, 5, 6, … razy. Sposób szarpnięcia struny określa amplitudy tych sinusoid, zwanych przez muzyków alikwotami. Otrzymujemy wtedy dźwięki o różnej barwie: struna potrącona palcem w pobliżu jej środka wyda dźwięk głęboki, nieco buczący, jakby samogłoska „u”, zaś szarpnięta blisko końca, za pomocą jakiegoś kolca, czy też piórka gitarowego, zabrzmi bardziej jaskrawo, nieco podobnie do „e”, a nawet „i”. Kiedy amplitudy alikwotów narysujemy jako funkcję częstotliwości, powstaje widmo dźwięku (Rys. 6). Zatem barwa dźwięku, czyli ta jego cecha, która pozwala rozróżniać instrumenty oraz samogłoski, jest związana z jego widmem. Wszystko to znane było już M. Mersennowi, chociaż zostało rozpowszechnione publicznie dopiero w 1701 r. przez Josepha Sauveura, którego wykład w Królewskiej Akademii Nauk w Paryżu wzbudził  prawdziwą sensację. Ale były to już czasy, gdy wyniki doświadczeń, mniejsza o to czy zgodne, czy niezgodne z panującymi przekonaniami i doktrynami, przyjmowano z uwagą i zainteresowaniem. Metoda eksperymentów laboratoryjnych zapoczątkowana przez Pitagorasa weszła na stałe do praktyki poznawania przyrody.

Rys. 6. Przykład widma wielotonu harmonicznego.

Model

Wyniki coraz liczniejszych nowych doświadczeń domagały się coraz bardziej dogłębnego wyjaśnienia. Spowodowało to szybki rozwój narzędzi matematycznych. Same liczby już nie wystarczały, wynaleziono więc funkcje, szeregi, pochodne, całki…. Zrozumiano też, że nowe doświadczenia mogą przeczyć zastanemu stanowi wiedzy lub wymaganiom doktryn religijnych i politycznych. Jednak potrzeba jakiejś uporządkowanej wizji świata pozostała. Aby jej uczynić zadość, zaczęto posługiwać się modelami. Nie chodzi tu o zabawki takie, jak małe samochodziki lub latające miniaturki samolotów, tylko o koncepcje mechanizmów obserwowanych procesów skonstruowane na wzór zjawisk, które już uważamy za zrozumiałe. Modele w fizyce są to zatem próby wyjaśnienia nieznanego przez znane. Zjawisko zgodnego współbrzmienia dźwięków, których częstotliwości pozostają w stosunkach małych liczb naturalnych, pozostawało niezrozumiałe aż do połowy XIX w. Dopiero Hermann Helmholtz (1821-1894) zaproponował model, który je wyjaśniał. Model Helmholtza powstał z jego badań anatomicznych, które wskazały, że narządem odpowiedzialnym za percepcję dźwięku jest tzw. blaszka podstawna zwinięta w rurce, zwanej ślimakiem, znajdującej się w uchu środkowym. Blaszka ta składa się z poprzecznych do niej włókien ułożonych równolegle do siebie, podobnie jak struny w harfie lub w fortepianie. Pomysł Helmholtza polegał na tym, że podobieństwo budowy może wskazywać na podobieństwo funkcjonowania. Helmholtz wiedział, a my możemy to łatwo sprawdzić, że drgania dochodzące do otwartego fortepianu pobudzają do ruchu te struny, których częstotliwości własne odpowiadają częstotliwości padającego dźwięku, inne zaś pozostają nieruchome. Obserwując, które struny się poruszyły, możemy określić wysokość, a nawet barwę badanego dźwięku. Obserwatorami w ślimaku są zakończenia nerwowe odchodzące od poszczególnych włókien-strun blaszki podstawnej. To one powiadamiają mózg, które struny się poruszyły, czy ich układ odpowiada szeregowi alikwotów opisującemu ruch okresowy – czy zatem dźwięk ma określoną wysokość – czy też może wpadające częstotliwości nie są całkowitymi wielokrotnościami jednej podstawowej, i przez dźwięk ma charakter szmeru lub szumu. Ponieważ, jak zauważył Helmholtz, blaszka podstawna zanurzona jest w cieczy, ruchy jednej struny przenoszą się częściowo na inne struny. Dobrze też wiedział, jak się porusza struna pobudzana przez dwie bliskie sobie częstotliwości: drgania będą zmieniały swą amplitudę z częstotliwością równą różnicy padających częstotliwości. Jest to zjawisko dudnienia. Znają je gitarzyści, gdy stroją swoje instrumenty: kiedy struny są niewiele rozstrojone, wydają dźwięk, którego natężenie faluje w czasie. Wolne dudnienie, np. 2 lub 5 razy na sekundę, to przyjemne vibrato, zaś falowanie bardzo szybkie nie dociera do świadomości i sygnał odbieramy jako dwa różne dźwięki. Pośrodku jest obszar przejściowy, ok. 33 dudnień na sekundę. Sami możemy stwierdzić, jak bardzo nas to drażni. Z tą częstotliwością odrywa się język od podniebienia, gdy wypowiadamy spółgłoskę „r”.  Czy to przypadek, że zawiera ją tyle słów naprawdę „grrrubiańskich”? … To już jest wyjaśnienie zjawiska konsonansu i dysonansu w modelu Helmholtza: gdy częstotliwości alikwotów dwóch dźwięków zbliżają się do siebie na tę nieprzyjemną, „grubiańską” odległość 33 Hz, odczuwamy szorstkość charakterystyczną dla dysonansu. Nic takiego nie wystąpi dla dźwięków odległych o oktawę: tam wszystkie alikwoty górnego dźwięku mają te same częstotliwości co pewne alikwoty niższego dźwięku. (Rys. 7).  Podobnie z kwintą: alikwoty górnego dźwięku albo zgadzają się z alikwotami dolnego, albo leżą w połowie drogi między nimi. I tak dalej, gdy stosunki częstotliwości podstawowych stają się coraz bardziej skomplikowane, znajdujemy coraz więcej alikwotów różniących się częstotliwościami około 33 Hz. Nieprzyjemnych dudnień przybywa i współbrzmienie staje się coraz bardziej dysonansowe (Rys. 8). Model Helmholtza tłumaczy bardzo wiele faktów znanych muzykom. Na przykład małe interwały, sekundy i tercje brzmią dobrze w górnych rejestrach, a gorzej w dolnych, dlatego głos basowy jest zwykle oddalony od pozostałych o duże interwały; barwa dźwięku nie zależy od fazy poszczególnych alikwotów; instrumenty o silnych alikwotach trudniej zestroić itd.

Granice

Modele są dziś bardzo częste w fizyce. Mamy model jądra atomowego wywodzący się z kropli cieczy, model ciała stałego, w którym oddziaływania międzyatomowe są zastępowane sprężynkami, wreszcie nawet standardowy model całego Wszechświata. Zazwyczaj model dobrze opisuje pewną część zjawisk dotyczących rozpatrywanego układu, ale jego przewidywania bywają też czasem sprzeczne z innymi zjawiskami. Np. w modelu „sprężynkowym” ciała stałego nie da się opisać rozszerzalności cieplnej. Mówi się, że modele posiadają granice swej stosowalności. Wspaniały model Helmoholtza też je ma. Np. trudno w nim wyjaśnić, że gdy w dźwięku amplituda tonu podstawowego jest równa zeru, odbierana wysokość dźwięku jest taka sama, choć nie ma powodu, aby odpowiednia „struna” blaszki podstawnej była poruszana. Co więcej, szczegółowe badania Georga von Békésy’ego (Nagroda Nobla w 1961 r. za eksperymenty dotyczące słuchu) wskazały, że ruchy blaszki podstawnej nie są wcale drganiami zlokalizowanymi wokół odpowiedniego włókna blaszki podstawnej, lecz rozciągają się na całą jej długość, wykazując jedynie w odpowiednich miejscach szerokie maksima.  Od tego czasu chętniej mówiło się o bardziej ogólnej „teorii miejsca” niż o modelu Helmholtza, a modelowanie matematyczne ruchów blaszki podstawnej stało się ważnym tematem prac badawczych.

Rys. 8. Model Helmholtza: obszary blaszki podstawnej pobudzane do drgań przez dwa tony proste o zbliżonych częstotliwościach częściowo się pokrywają (na rysunku kolor czarny); w obszarze tym występują dudnienia, które przy różnicy częstotliwości bliskiej 33 Hz dają wrażenie dysonansu.

Tymczasem postęp metod doświadczalnych, (m.in. tzw. zjawisko Mössbauera) umożliwił pomiary ruchów blaszki podstawnej nie tylko w preparatach prosektoryjnych, ale także w narządach żywych zwierząt. Z drugiej strony wypracowano techniki pomiarów potencjałów elektrycznych powstających na zakończeniach nerwowych odprowadzających sygnały z blaszki podstawnej do mózgu. Oczywiście, potencjały te nie występują w martwych preparatach. Wynik był bardzo ciekawy: mimo, że dana częstotliwość pobudza do ruchu dość spory obszar blaszki podstawnej, to „elektronika” układu nerwowego potrafi z wielką precyzją określić położenie miejsca, w którym wychylenia ruchu blaszki podstawnej są najbardziej intensywne. W ten sposób mózg dowiaduje się mimo wszystko, której „strunie” blaszki podstawnej odpowiada padający dźwięk. Model Helmholtza niejako odżył w nowej, elektronicznej wersji.

Kiedy model zdaje sprawę z zachowania układu z wystarczającą adekwatnością, można się pokusić o zbudowanie „zabawki” – innego układu, jednak działającego w podobny sposób. To wyzwanie technologiczne podjęli także polscy lekarze i inżynierowie, a w szczególności prof. Henryk Skarżyński z Instytutu Fizjologii i Patologii Słuchu w Warszawie. Mikrofon odbiera dźwięki z otoczenia, a odpowiednie urządzenie przekazuje je do ślimaka, gdzie inna elektroda zastępuje uszkodzony przez chorobę mechanizm przekazywania ruchów blaszki podstawnej do zakończeń nerwowych. I to już nie jest zabawka, lecz wielka nadzieja dla osób głuchych lub z częściowym uszkodzeniem słuchu. Pierwszą operację wszczepienia takiego implantu ślimakowego przeprowadził prof. Skarżyński w roku 1992. Technologia ta jest stale udoskonalana. Problemem są dziś zakłócenia sygnału odbierane przez mikrofon, oraz precyzja miejsca dostarczania sygnału do zakończeń nerwowych nie dorównująca jeszcze naturalnej, zdrowej „elektronice” układu nerwowego.

Cywilizacja

Wykorzystanie wiedzy o zjawiskach przyrody w praktycznych zastosowaniach jest zapewne najczęściej przytaczanym argumentem za kontynuowaniem i rozwijaniem badań naukowych, a instytucje finansujące naukę raz po raz ogłaszają programy mające przyspieszyć tzw. „wdrożenia”. Nie ma wątpliwości, że fizyka zmienia naszą cywilizację. Postęp mechaniki i materiałoznawstwa doprowadził do skonstruowania fonografu, a potem płyty winylowej, co pozwoliło utrwalać ulotne dotąd wykonania dzieł muzycznych. Dokładne poznanie praw rządzących rozchodzeniem się fal elektromagnetycznych oraz przewodnictwem elektrycznym metali i gazów dało początek wynalazkowi „aparatu radio”, tj. urządzenia, które wysyła fale elektromagnetyczne odpowiednio zmodulowane, a odbiorca może je w swym radioodbiorniku przetwarzać na drgania membrany głośnika, co mu pozwala usłyszeć dźwięki z odległej sali koncertowej lub studia. „Ilustrowany Kurier Codzienny” z 6 kwietnia 1925 r. donosił: „W czasie pobytu mistrza Paderewskiego w Londynie, gdzie koncerty jego cieszyły się wprost entuzjastycznym przyjęciem, uproszono go również, by grał dla radja. Mistrz usiadł do fortepianu, przy którym ustawiono mikrofon”. Muzyka trafiła pod strzechy. Znajomość mechanizmów przewodzenia prądu w półprzewodnikach umożliwiła miniaturyzację urządzeń elektronicznych i wyprowadziła radio – „tranzystory” – spod strzech na ulice, do parków, w góry i na plaże, przyczyniając się tym samym do dźwiękowego zaśmiecenia środowiska. Witold Lutosławski mówił wtedy o prawie człowieka do ciszy… Wypracowanie metod wytwarzania cienkich warstw w połączeniu z techniką laserową pozwoliło przetwarzać sygnał dźwiękowy w niewyobrażalnie dotąd długi szereg liczb, będący cyfrową reprezentacją zmian ciśnienia akustycznego, możliwą do odczytania z płyt kompaktowych. Komputery piszą nam – albo nawet za nas – nuty, naśladują instrumenty muzyczne, pozwalają zsyntetyzować nowe. Często mówi się, ile to Nagród Nobla z fizyki jest zawartych w telefonie komórkowym…

Matematyzowalność

Bogactwo różnych modeli opracowanych do opisu zjawisk fizycznych sprawiło, że badanie tych modeli, zwanych też – zwłaszcza, gdy dotyczą większej grupy zjawisk – teoriami, stało się samo w sobie poważnym zadaniem, dla którego powołuje się całe instytuty i zakłady naukowe, najczęściej mające w nazwie słowa „fizyka teoretyczna”. Modele rządzą się bowiem swoją własną logiką, która nierzadko doprowadza do przewidywania zupełnie nowych zjawisk. Fale elektromagnetyczne zostały przewidziane przez równania Jamesa Maxwella, zanim Henryk Hertz nauczył nas je wysyłać i odbierać. Wiele cząstek elementarnych, np. pozyton, zostało przewidzianych teoretycznie, zanim eksperymenty potwierdziły ich istnienie. Dziś duże zainteresowanie budzi istnienie (lub nieistnienie) tzw. bozonu Higgsa poszukiwanego w największym na świecie przyspieszaczu cząstek LHC pod Genewą. W podobny sposób Roger Shepard z Uniwersytetu Stanford w USA przewidział, na podstawie rozważań o wysokości i barwie dźwięku, możliwość wytworzenia sekwencji dźwięków sprawiających wrażenie ciągłego wznoszenia lub opadania (tzw. nieskończone glissando, tony Sheparda, 1964), choć w istocie słuchamy wielokrotnego powtórzenia tego samego fragmentu. Jean Claude Risset, profesor mechaniki i kompozytor, wykorzystał ten efekt w muzyce do filmu o przeżyciach amerykańskiego pilota, któremu wydano rozkaz zrzucenia bomby atomowej (teoretycznie opracowanej przez zespół pod kierunkiem Enrico Fermiego z udziałem m.in. Alberta Einsteina) na Hiroszimę.

Wielu zadaje sobie pytanie, jak to jest możliwe, że teorie mogą wyprzedzać praktykę, a praktyka te teorie potwierdza. Jedną z odpowiedzi jest hipoteza matematyzowalności przyrody. Widocznie w jakiś tajemniczy sposób przyroda musi podporządkowywać się regułom matematycznym. Dla jednych wynika to z faktu, że sama matematyka jest zbudowana na podstawie obserwacji natury, tak jak liczby powstały z obserwacji długości strun. Mówi się wtedy o abstrakcji (łac. ab tracheo – wyciągam, wyodrębniam). Przykładem takiej abstrakcji jest np. pojęcie konkretnego interwału: wspólną cechą „Roty” „Międzynarodówki”, ”Czy widzisz te gruzy na szczycie…”  „Służyłem u pana przez całe lato…” i „Szła dzieweczka do laseczka…” jest to, że się zaczynają od kwarty. Cechę tę wyodrębniamy, tj. abstrahujemy, po kilkukrotnym wysłuchaniu. Inni jednak, a należy do nich ks. prof. Michał Heller, twórca znakomitej i uznanej przez największe autorytety naukowe teorii Wszechświata, opartej na niezwykle zaawansowanej koncepcji geometrii nieprzemiennej, uważają, że to nie przyroda jest pierwotna względem matematyki, lecz odwrotnie, że to matematyka jest pierwotna względem wszystkiego, co istnieje, a nawet tego, co tylko mogłoby istnieć. Jakże podobnie do pitagorejskiego „wszystko jest liczbą” ks. prof. Heller twierdzi: „Bóg jest matematyką!”

Emocje

W każdym razie wiele zjawisk znanych przez długie lata jedynie w sposób jakościowy udało się w końcu opisać ilościowo. Na przykład wiadomo, że wysokość dźwięku piszczałki organowej  zależy od temperatury. . Dzisiaj, znając właściwości materiału, z którego piszczałka jest wykonana, oraz wilgotność powietrza w pomieszczeniu, można dokładnie obliczyć, o ile ta wysokość się zmieni gdy temperatura wzrośnie lub spadnie o określoną liczbę stopni.  Czy można w ten sposób ustalić, jakie cechy utworu muzycznego wzmacniają lub osłabiają jego wpływ na słuchacza? W drugiej połowie XX w. podjęto próbę odpowiedzi na to pytanie, badając utwory muzyczne metodami fizyki statystycznej. Richard F. Voss i John Clarke (1975) zauważyli m.in., że w najbardziej znanych utworach muzyki klasycznej częstość występowania poszczególnych interwałów jest odwrotnie proporcjonalna do ich rozmiarów (tzw. prawo Zipfa): sekundy występują najczęściej, tercje trochę rzadziej, kwarty jeszcze rzadziej itd… Tak jakby istniała tam jakaś reguła rządząca, podobna do równań rządzących chaosem deterministycznym, prowadzącym do zjawisk fraktalnych. Kiedy częstość występowania kolejnych interwałów spada szybciej, czyli gdy większe skoki zdarzają się rzadko, muzyka ma być wg R. Vossa i jego następców zbyt nudna, gdy zaś rozmiar skoków jest zupełnie przypadkowy – zbyt niespójna. Dla sprawdzenia, czy te statystyczne cechy są rzeczywiście decydujące dla siły oddziaływania muzyki, generowano za pomocą komputera szeregi dźwięków z uwzględnieniem sformułowanych reguł, ale poza tym z pominięciem wszystkich innych reguł, czyli przypadkowo. Czytelnik może sprawdzić wyniki, słuchając utworów kierunku – fractal music. Podobne badania prowadzi się też dla języków. Mnie zastanawia, dlaczego we wszystkich tych analizach pomija się rolę odkrytego przez Pitagorasa, a wyjaśnionego po raz pierwszy w nowoczesny sposób przez Helmholtza pokrewieństwa dźwięków. Być może inspiracją były tu dwudziestowieczne kierunki kompozytorskie: dodekafonia, aleatoryzm, punktualizm…, które starały się pozbyć wpływu tego pokrewieństwa w konstrukcji  utworów. .

Pokrewieństwa dźwięków są podstawą reguł kontrapunktu i harmonii. Decydują o narastaniu napięć i ich rozładowywaniu. Odkrywanie nowych sposobów sterowania tymi napięciami, swoista inżynieria emocji, jest moim zdaniem zawsze największym osiągnięciem kompozytora. Za przykład może tu posłużyć twórczość Fryderyka Chopina, postrzeganego często jako przedstawiciela wybujałej uczuciowości. Tymczasem oryginalność jego dzieł i  siła ich oddziaływania mają swe źródła w wynalazkach z dziedziny  nowych współbrzmień i ich następstw. Krok tercjowy w kadencji z dominantą septymową, w której kwinta zastąpiona jest sekstą, nadał jego utworom swoisty rys oderwania od przytłaczającej tonalności i związanego z nią dyktatu dźwięków prowadzących. Współzawodnictwo stałości motywu lewej ręki z narastającą swobodą prawej w Berceuse (Kołysanka, to tytuł dla wydawców, roboczy zaś tytuł tego utworu był znacznie bardziej inżynierski – Warianty) ma coś z praw zachowania, a progresje w środkowym odcinku etiudy E-dur z op. 10 wyraźnie antycypują wynalazek tonów Sheparda. Symfonia „Patetyczna” Piotra Czajkowskiego znana jest jako przyczyna zgonów sercowych pokaźnej liczby osób. Czy wpływ na to ma tylko znakomity, choć w kontekście muzyki fraktalnej dość przestarzały, warsztat kompozytora, czy też udzielający się jakimś sposobem słuchaczowi narastający jego osobisty dramat?   Czajkowski zmarł w kilka tygodni po ukończeniu dzieła; w grę wchodziło samobójstwo lub rytualny mord.

Wypracowane przez pokolenia twórców zasady harmonii poddają się matematyzacji dość łatwo, tak że możliwe jest automatyczne dorabianie akompaniamentów na komercyjnych elektronicznych instrumentach klawiszowych. W przeciwieństwie do tego odkrywanie istotnie nowych możliwości w tej dziedzinie wymaga – jak świadczą o tym choćby powyższe przykłady – ogromnego zaangażowania emocjonalnego stowarzyszonego z wielkim wysiłkiem intelektualnym. Jak tu się zgodzić z Jamie Jamesem, (Muzyka Sfer, Znak, 1996), że romantyzm był anomalią w naturalnym związku muzyki z prawami natury? Owszem, o związkach – jednak chyba wątłych – z ruchami planet wtedy już zapomniano, ale odkryto muzykę jako zespół zjawisk samych w sobie fascynujących – muzykę absolutną (Eduard Hanslick, 1854). Podobnie w pracy fizyka: pogodzenie ze sobą nieraz pozornie sprzecznych wyników doświadczeń z wymaganiami matematycznej spójności wymaga uruchomienia najwyższych emocji, by doprowadzić rozumowanie do możliwie przekonującej kadencji. Opisane zmagania Keplera są tu tylko jednym z bardzo licznych przykładów.

Rezonsans

Dawniej za ośrodek  uczuć uważano serce. Dziś wiadomo, że ich ważnym czynnikiem są procesy zachodzące w mózgu. Do pełnej matematyzacji mózgu nauka jeszcze nie doszła, ale dzięki technice funkcjonalnego obrazowania metodą magnetycznego rezonansu jądrowego można śledzić aktywność poszczególnych obszarów kory mózgowej w różnych stanach psychicznych i emocjonalnych. Pomiary tego rodzaju wskazują, że świadome słuchanie muzyki (w przeciwieństwie do jedynie jej słyszenia) uruchamia jednocześnie te obszary mózgu, które zwykle nie działają razem. Podejrzewam, że aktywne uprawianie muzyki, nawet bez ambicji profesjonalnych, daje jeszcze lepsze wyniki. Fakt bardziej efektywnego gospodarowania pamięcią przez muzyków jest dobrze znany. Wszystko to wskazuje, jak ważnym stymulatorem pracy mózgu jest muzyka i jaką rolę odgrywa ona w kształtowaniu konstruktywnego współdziałania zdawałoby się przeciwstawnych żywiołów: emocji i intelektu. Takie współdziałanie wydaje się kluczowe dla pokonywania życiowych wyzwań.

Życzenie

Byłoby więc dobrze, gdyby o tym pamiętali rodzice, nauczyciele i redaktorzy programów szkolnych. Gdyby media nie zagłuszały matczynych kołysanek oraz własnych prób dzieci i dorosłych samodzielnego doświadczania związków przeżywanych emocji z najgłębszymi prawami natury. Może przestano by się wtedy bać fizyki i nudzić muzyką otwierającą szersze horyzonty. Czy da się to wszystko spełnić, skoro musimy zadbać o tyle jeszcze innych, koniecznych dla życia spraw? Nie wiem. Może pewną wskazówkę da tu znana  – myśl Jana Sebastiana Bacha: „[…]  nie powinno stanowić celu i ostatecznej przyczyny wszelkiej muzyki nic innego, jak tylko ku chwale Bożej i odrodzeniu ducha być”.

Piotr Zieliński pracuje na Wydziale Fizyki, Matematyki i Informatyki Politechniki Krakowskiej oraz w Instytucie Fizyki Jądrowej im. H. Niewodniczańskiego Polskiej Akademii Nauk. Zajmuje się zjawiskami falowymi w układach niskowymiarowych, prowadzi zajęcia dydaktyczne m.in. z fizyki i fizjologii dźwięku.

Artykuł ukazał się pierwotnie w numerze Fragile 4 (14) 2011